반응표면 설계 (RSM): 하나 또는 그 이상의 반응 (출력) 변수에 영향을 주는 인자 (Y1, Y2) 와 인자 (입력변수, X1 ... Xn) 간의 관계를 규명하는 실험 설계
목적: 반응을 최적화 or 목표치에 도달 할 수 있는 인자의 조건을 찾는 것
라고 하지만, 사실 완전 요인설계도 위와 마찬가지이다. 다만, 완전 요인 설계와 다른 것은 직선 관계가 아니라 곡선 관계를 나타낼수 있다는것에 있다.
반응표면설계의 필요성
필요성: 실제 시스템은 곡선성을 가지는데, 완전요인 설계를 통해 최적화 하면,
- 설명력 (R2) 은 높을수 있지만, ( 현재 데이터에 대한 설명은 잘 할수 있지만)
- 예측력 (R2 press) 은 부정확할수 있다. (다른 데이터에 대한 예측력, 즉, 일반화를 시키지 못해 최적 조건을 놓칠수 있다.)
여기서 R2 삼총사에 대해서 알고 가자.
- 결정계수 (R2): 현재 데이터에 대한 모델의 설명력
- 수정 R2 (R2 adj): 변수를 추가하며 모델의 설명력을 계산 할 때, 중요하지 않은 변수가 추가 되면 패널티가 있는 결정 계수
- 예측력 (R2 press): 모델의 예측력, 현재 데이터 외에 다른 데이터가 추가 됐을 때, 예측 할수 있는 능력을 의미하며, 모델이 최대치로 올려야할 최종 도달하고자 하는 목표
- R2는 변수가 추가 될수록 1에 수렴하지만
- 나머지 값들은 패널티가 존재 하거나 모델이 훈련세트에 과적합 되기 때문에 다시 떨어지는 현상이 발생한다.
- 따라서, 세 함수의 차이가 최소가 되는 지점이 가장 좋은 모델이 만들어지는 지점이다.
반응표면설계의 2차 회귀모형
반응표면설계가 완전요인설계와 다른 점은 곡률이 존재한다는 점이기 때문에 아래 수식에 이차항이 추가 되었다.
하지만, 이차식이라는 것이 중요한것이 아니라, 단순히 곡률의 효과를 나타내기 위하여 추가된 수식이라는 것을 알면 되겠다.
아래 수식이 복잡하다면 다음과 같이 표현할 수 있다.
2차 회귀모형: (절편) + (곡률) + (교호작용) + (오차항)
RSM 설계의 종류
곡률을 판단하기 위해서는 3수준 이상이여야 가능하다. 하지만 3수준의 실험은 실험의 수가 3의 제곱으로 늘어나기 때문에 이를 감당하기 어렵다. 따라서, 통계학자들은 균형과 직교의 원리를 지키면서 실험의 수를 최소화 시키는 방식으로 RSM 설계를 고안했다.
Central composite design
- central: 균형을 이루면서
- composite: 기존 요인설계에 데이터를 추가하여 구성한다.
실험의 수 = 꼭지점 (2^k) + 축점 (2k) + 중심점 (N)
- cube point를 잡고 (꼭지점)
- 각 요인별로 양 끝점을 잡은후 (축점)
- 중심점을 잡는다. (일반적으로 6 - 8회)
Central composite의 종류
1) 외접 모형 (Central composite Circumscirbed, CCC(CCD) ): 관심영역에 외접해서 실험을 디자인한다.
- Rotatability가 있기 때문에 동일한 예측 분산을 가져 예측력이 우수하다.
- 관심영역 밖이기 때문에, 실험이 불가능하거나 부담될 수 있다.
2) 내접 모형 (Central composite Inscribed, CCI): CCC cube point에 내접하는 원을 디자인하고 그 안에 다시 내접하는 관심영역을 설정한다.
- Rotatability가 있기 때문에 동일한 예측 분산을 가져 예측력이 우수하다.
- 범위가 무리수가 나와 임의로 구간을 맞춰야 하니 실험 결과의 오차가 커질 수 있다.
3) 표면중심모형 (Central composite Face-centered, CCF): 면 (관심영역) 의 외측이 아니라 면의 중심에 모든 축이 지나가는 설계
- 축점이 Cube point위에 있으니 실험하기 용이하다. (따라서 가장 많이 쓰이는 설계다.)
- Design space도 찾기 수월하다.
- Rotatability가 없어 예측력이 다소 떨어진다.
4) Box-Behnken 설계: Cube Line의 중앙점 + 중심점에 대해 실험을 실시.
- Cube point에서 실험이 없다.
- 꼭지점 실험을 하지 않으니, 실험에 부담이 없어 Data 손실이 적다.
- Rotatability가 존재한다. (실험점들이 구 위에 있다.)
- 중심합성법보다 적은 실험설계를 갖고 있다.
- 공정 개발 (Process develoopment)에서 굉장히 많이 사용 된다. (타 산업군에서도 정말 많이 엄청 사용한다고 함.) (ex. OO 최적화에 많이 사용)
- Design space를 찾기 좋지 않다. (Design space는 극단의 조건에서 공정의 flexibility를 부여하는 조건이기 때문에 cube point 설계가 필요)
JMP를 활용한 RSM 분석 (Screening 부터)
1. Screeing
이번 실험에서는 실제 상황처럼 한번에 실험할수 없는 경우와 같이 Block을 지정해서 실험을 진행한다.
- 2회의 실험으로 나눠진것이니, 중심점 실험은 2개, 1개로 나뉘어서 들어갈것임.
- 실험이 완료된 후, Y값 입력
- Block의 효과가 있는 것으로 확인 됨. -> 원래 실제 실험에서는 이러면 안됨.
- 지금은 그 효과가 약하기 때문에 실험 진행
** 예제 실험에는 Center point 결과의 차이 (Pure error)가 너무 작아, Block에 따른 중심점 실험의 차이가 약간이라도 크다고 결과가 나왔기 때문에 Block에 의한 effect가 있다고 판단 됨.
** 만약 Block의 차이에 의한 효과가 다른 요인에 의한 차이보다 크다면?
편법: 두 Block의 중심점 실험의 결과 평균치의 차이를 구해서 더 낮은 쪽 실험 값에 더해주던지, 높은 쪽 실험에 빼주면 됨. --> 차라리 이 결과를 믿고 상대적인 결과만 믿는것이 낫다. (절대값은 믿으면 안됨.) --> 중요한 인자만 뽑아내는 스크리닝 실험이라 가능한 것임. Y값을 예측 하는 실험이였으면 안됨. (PD 단계에서 최대한 많은 정보를 뽑아내는 절차로 진행.)
- 결론 1) G,E,C 가 중요인자인다.
- 결론 2) 음의 방향으로 곡선성이 있다. (위로 볼록하다. 단, 어떤 변수의 곡선성인지는 모름.) --> 반응표면 설계 (RSM)으로 넘어감.
2. RSM
* 시작 전
- Screening Y 결과에서 목표한 값에 도달하는 조합이 없었음.
- 그러면 이대로 RSM 디자인 해도 돼는것인가?
- 곡선성은 위로 볼록하다는 것을 알았음.
- 꼭지점 실험으로 디자인 했을 때만 안나온것이지, 실제로 그 안쪽 실험으로 실험해보면 나올수도 있음.
- 따라서 정했던 규격으로 실험을 진행하면 됨.
- Central Composite Design: 한번에 실험할 수 있고, Block이 실험에 미치는 영향이 없다는 것을 일고 있을 때.
- CCD-Orthogonal Blocks: 실험 숫자가 늘어나서 나누어서 실험해야 할 때.
- 가장 많이 사용하는 실험을 하고자 한다면, On-Face
- Center point 개수는 6 ~ 8을 권장.
***중요: 중심점의 개수가 6 ~ 8일 때, 표본집단의 표준편차가 모집단의 표준편차에 수렴하기 시작하기 때문에 반드시 6은 진행해줘야 한다. (5 미만의 Pure error는 신뢰하지 않는다.)
- 대부분의 제약회사는 3인자 + 6개의 중심점 --> 20개의 실험 디자인이 가장 많음.
* 만약 2인자로 실험한다면, 규제 기관에서는 실험수를 줄이려고 부족한 실험을 진행했다고 생각 할수 있음. (그렇다고 2인자를 하면 안된다는 것은 아님.)
조금 더 정교한 모델을 만들고자 할 때,
- CCC 설계를 하고 싶다면, Rotatable
- CCI 설계를 하고 싶다면, Rotatable + Inscribe
이번 예제에서는 CCF로 진행
- Pattern의 -/+ 로 이루어진것은 완전요인의 꼭지점 설계
- 000은 중심점
- a00 / A00 은 위 실험에서 G 축의 양 끝점
- Model script run
1. Characterization (특성화)
- X & RS: X의 주효과 항이며, Response surface라는 것이지 다른 의미는 없음.
- 완전 요인과 다른 점은 곡선 model이기 때문에 G*G, C*C, E*E가 있음.
- 수동으로 하는 법: G, C, E를 선택 -> Macros -> Response surface
- 이대로 Run (Standard Least Square)
- C*E interaction 빼고 모두 유의적
- Summary of Fit 결과: R2, R2adj가 좋음
- ANOVA 결과: 모델이 유의적인것을 알 수 있음.
세 변수에 대해서 모두 곡선성이 있는것을 알 수 있음.
- C, E interaction (X)
- C, G / E, G -> interaction (O)
- 사실 곡선 관계의 변수들은 interaction plot을 잘 보지 않음.
2. Optimization (최적화)
- Personality를 Stepwise로 변경 - Keep dialog 클릭
- Run
- 이 상태로 Go 진행
- C*E interaction은 유의하지 않게 나옴.
- 제곱항 모두 유의적임.
- Prob > F (p-value) 는 C*E 제외하고 유의적임.
- F Ratio는 주로 2, 4 기준으로 봄.
- Sum of square도 C*E 제외하고 모두 높은 값을 지님.
- Run model
2.1. Model 진단
- ANOVA: 모델 유의성 확인
- Summary of Fit: 모델의 설명력 확인
- Press: 예측력 확인
- R2, R2 Adj, R2 press 확인
* R2 press: cross-validation의 개념 --> ex) 20개의 데이터 중 1개는 빼고 model을 만든 후에, 나머지 1개로 검증 이를 19번 더 반복하여 예측값과 실제 값의 차이를 계산하여 얻어짐.
2.2. Lack of Fit: 정체를 알수 없는 변동 -> 모델의 설명력
반복 실험이 들어가 있다면, 반드시 있는 데이터 (ANOVA와 같이 보면 됨.)
- ANOVA의 Error 를 가져온 데이터. (모델이 설명하지 못하는 에러)
- Pure Error: 반복 실험에 의한 오차 (보이지만 control 할수 있지 않은 변동) ex) 줄기세포 제 공자에 따른 줄기세포의 상태
- Lack Of Fit: 정체를 알수 없는 변동 (반복 실험에 의한 오차도 제외된) ex) operator 가 몰 랐던 다른 impeller 타입 장착
- Lack Of Fit이 유의하면, 알 수 없는 변동이 데이터를 분산 시키기 때문에 이 실험은 계속 예측 이 어려워질수도 있다는 뜻임.
- R2가 1에 가깝다면, Error는 모델이 설명할수 있는 데이터 대비 굉장히 적은 양이므로, 이것을 다시 분화해서 Error가 있느냐 없느냐 따지는 일은 중요하지 않을 가능성이 굉장히 높음.
- R2가 높지 않다면, Error는 모델이 설명할수 있는 데이터 대비 굉장히 적지 않은 양이므로, 이 것을 다시 분화해서 볼 필요가 있음.
2.3. 잔차 분석
Lack Of Fit 에서 정체를 알 수 없는 변동이 나왔다고 했을 때, 원인이 무엇인지 파악하기 위해
실시하는 분석
- Alt (or Option) Response Y의 Hot spot을 클릭
- Row Diagnostics에서 아래와 같이 "Durbin Waston Test" 제외하고 모두 클릭
2.3.1. Actual by Predicted Plot
이를 통해, outlier가 있는지 확인하고 이를 제외해서 모델을 만드는 방향으로 가는것이 목적
- 예측값과 실제값이 거의 일치하여 모델이 잘 만들어졌다고 할 수 있음.
- 벗어난 점이 있다며 다음 step을 진행
2.3.2. Studentized Residuals
- Residual: 실제 값과 예측 값의 차이
- 3 - 4 SD 가 넘어가면, 그 데이터를 빼고 모델을 만드는 편이 낫다. (알수 없는 변동에 의해 일 어난 일어났기 때문)
- 데이터 포인트에서 오른쪽 마우스 눌러서 "Row Hide and Exclude" 로 점 제외하기
- Fit Group hot spot > Redo > Redo Analysis
- 이렇게 해주면, outlier를 빼주고 분석 진행 가능
- 빠지고 분석된 모습을 볼 수 있음
2.3.2. Residual by Predicted Plot
잔차와 예측값의 상관 관계가 있는지 확인
- 경향성이 있는지 없는지만 보면 됨.
- Residual은 설명할 수 없는 오차 임.
- 따라서, 여기서 상관성이 있으면 안됨. (상관성이 있다면, model이 잘못만들어진 것.)
2.3.3. Residual Normal Quantile Plot 잔차가 정규성을 따르는지?
- Data point들이 직선선 주변에 bulky하게 존재하면 됨. - 두꺼운 펜으로 다 가려지는 정도면 됨.
2.4. 최적 조건 탐색
Fit Group > Profiler
Fit Group > Contour Profiler
- Desirability 흰색 바탕 왼쪽 더블 클릭
- Prediction profiler > Optimization and Desirability > Maximize and Remember - 최적 조건을 찾아줌.
- Contour profiler (등고선: 값이 같은 지점을 연결해 줌.)
- G가 고정되어 있는 상태에서 Y 값을 만족 시키는 영역
- 설정한 조합을 저장해서 최적 조건을 찾는 실험을 진행할 수 있음.
- G 값을 조정하면서, 모델을 확인할 수 있음.
- Fit Group > Surface Profiler
- 아래 그림 처럼 최적 지점을 찾을 수 있음.
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